Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R），有下列命題：
①y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱
②y=f（x）的圖象可由y=2sin2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對(duì)稱
④y=f（x）在（-

π

6

，

π

6

）上單調(diào)遞增
⑤若f（x₁）=f（x₂）可得x₁-x₂必為π的整數(shù)倍
⑥y=f（x）的表達(dá)式可改寫成 y=2cos（2x+

π

3

）
其中正確命題的序號(hào)有

①④

．

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)稱軸的定義可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱，故①正確；y=2sin2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)═2sin（2x-

π

3

），故②不正確；求出函數(shù)的對(duì)稱中心判定③不正確；求出函數(shù)的增區(qū)間判定④正確；求出函數(shù)的周期判斷⑤不正確；由f（x）=2sin（2x-

π

6

）=-2cos（2x+

π

3

），知⑥不正確．

解答：解：f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的對(duì)稱軸是2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

π

3

，當(dāng)k=-1時(shí)，x=-

π

6

，故①正確；
y=2sin2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

），故②不正確；
函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足2x-

π

6

=kπ，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，故③不成立；
函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的增區(qū)間滿足-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
即函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的增區(qū)間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z，故④成立；
函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的周期T=

2π

2

=π，
若f（x₁）=f（x₂）可得x₁-x₂必為必是半個(gè)周期

π

2

的整數(shù)倍，故⑤不正確；
f（x）=2sin（2x-

π

6

）=2cos（

π

2

-2x+

π

6

）=2cos（

2π

3

-2x）=-2cos（2x+

π

3

），
故⑥不正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查基本概念，基本知識(shí)的理解掌握程度，是基礎(chǔ)題．