Question

設(shè){a_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求數(shù)列{S_n-b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
∴q²+（1+4d）=21，q⁴+（1+2d）=25
解之得q=2，d=4（舍去負值）
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，b_n=b₁+（n-1）d=4n-3
即數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1，{b_n}的通項公式b_n=4n-3；
（2）由（1）得{a_n}的前n項和S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴S_n-b_n=2ⁿ-1-（4n-3）=2ⁿ-4n+2
因此，{S_n-b_n}的前n項和為
T_n=（2¹-4×1+2）+（2²-4×2+2）+…+（2ⁿ-4×n+2）
=（2+2²+…+2ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n
=2ⁿ⁺¹-2-4×

n(n+1)

2

+2n=2ⁿ⁺¹-2n²-2．