Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，（n+2）•a_n+1=（n+1）•a_n，則a_n=$\frac{2}{n+1}$．

Answer 1

分析 由條件得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，利用累積法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵（n+2）•a_n+1=（n+1）•a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{5}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
等式兩邊同時相乘得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$…$\frac{n}{n+1}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{n+1}$，
即a_n=$\frac{2}{n+1}$•a₁=$\frac{2}{n+1}$×1=$\frac{2}{n+1}$，
當(dāng)n=1時，a₁=1滿足a_n=$\frac{2}{n+1}$，
故答案為：$\frac{2}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系利用累積法是解決本題的關(guān)鍵．