Question

如圖所示，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=

2

．AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B-AF-D的大�。�
（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OG⊥AF，G為垂足，連接BG、DG，根據(jù)定義可知∠BGD為二面角B-AF-D的平面角，在三角形BGD中求出此角即可；
（2）連接EB、EC、ED，設直線AF與直線CE相交于點H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD，過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足，然后求出HP，利用體積公式V=

1

3

S_菱形ABCD•HP求解即可．

解答：解：（1）解：連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OG⊥AF，G為垂足，連接BG、DG．
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．
于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD為二面角B-AF-D的平面角．
由FC⊥AC，F(xiàn)C=AC=2，得∠FAC=

π

4

，OG=

2

2

．
由OB⊥OG，OB=OD=

2

2

，得∠BGD=2∠BGO=

π

2

．
（2）解：連接EB、EC、ED，設直線AF與直線CE相交于點H，
則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD．
過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足．
因為EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，
所以平面ACEF⊥平面ABCD，從而P∈AC，HP⊥AC．
由

HP

CF

+

HP

AE

=

AP

AC

+

PC

AC

=1，得HP=

2

3

．
又因為S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=

2

，
故四棱錐H-ABCD的體積V=

1

3

S_菱形ABCD•HP=

2 2

9

．

點評：本題考查空間位置關系，二面角平面角的作法以及空間幾何體的體積計算等知識．考查利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力．