Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2[如圖(1)]．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁EFB成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P[如圖(2)]．

(1)求證：A₁E⊥平面BEP；

(2)求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)不妨設(shè)正三角形的ABC的邊長為3，在圖(1)中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF．AE：EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2．而∠A＝60°， 　　∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1， 　　∴EF⊥AD在圖(2)中，A1E⊥EF，BE⊥EF， 　　∴∠A1EB為二面角A1－EF－B的平面角．由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1E⊥BE， 　　又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP． 　　(2)在圖(2)中，A1E不垂直A1B，又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE．從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影，設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于點(diǎn)Q，則∠EA1Q就是A1E與平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．在△EBP中，BE＝EP＝2，而∠EBP＝60°，∴△EBP是等邊三角形．又A1E⊥平面BEP，∴A1B＝A1P， 　　∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ＝，又A1E＝1，在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q＝， 　　∴∠EA1Q＝60°，∴直線A1E與平面A1BP所成的角為60°．

提示：

在立體幾何學(xué)習(xí)中，要多培養(yǎng)空間想象能力，對于圖形的翻折問題，關(guān)鍵是利用翻折前后的不變量．