Question

已知實(shí)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，證明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q∈R），
由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，從而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．
因?yàn)閍₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，所以a₄+a₆=2（a₅+1），
即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．
所以q=

1

2

．故an=a1qn-1=q-6•qn-1=64(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

64[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=128[1-(

1

2

)n]＜128．