Question

已知函數(shù)y=x+

k

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)k＞0，那么該函數(shù)在（0，

k

）是減函數(shù)，在(

k

，+∞)是增函數(shù)．
（1）已知f（x）=

4x2-12x+13

2x-3

，利用上述性質(zhì)，試求函數(shù)f（x）在x∈[2，3]的值域和單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=x+a，若對任意的x∈[2，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）通過令μ=2x-3換元，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=μ+

4

μ

，利用已知條件，得到函數(shù)的值域的單調(diào)區(qū)間，再μ滿足的區(qū)間轉(zhuǎn)化為x取值區(qū)間，得到本題結(jié)論；（2）本題恒成立問題，利用參變量分離，轉(zhuǎn)化為求y=x+

k

x

型函數(shù)最值問題，求出函數(shù)最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）令μ=2x-3（1≤μ≤3），
∴y=μ+

4

μ

，
依題可知：y=μ+

4

μ

在區(qū)間[1，2）單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，3]單調(diào)遞增．
∴y=f（x）的值域為[4，5]；
當(dāng)μ∈[1，2]時，x∈[2，

5

2

]，
當(dāng)μ∈（2，3]時，x∈(

5

2

，3]．
∴y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，

5

2

]，單調(diào)遞增區(qū)間為(

5

2

，3]
（2）依題可知，∵f（x）＜g（x）恒成立，
∴a＞

4x2-12x+13

2x-3

-x在x∈[2，3]恒成立．
設(shè)h(x)=

4x2-12x+13

2x-3

-x=

2x2-9x+13

2x-3

，
令μ=2x-3（1≤μ≤3），
則y=

1

2

(μ+

8

μ

-3)≤3．
∴a＞3．

點(diǎn)評：本題考查了y=x+

k

x

型函數(shù)的單調(diào)性和最值、還考查了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．