Question

（2011•天津模擬）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，a₁=

1

2

，a2=

4

5

，且對(duì)滿足m+n=p+q的任意正整數(shù)m，n，p，q都有

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

（I）求通項(xiàng)a_n；
（II）記c_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有T_n＜

2

3

．

Answer 1

分析：（I）解法一：特征根法，構(gòu)造得出

1

an-1

+

1

2

=3(

1

an-1-1

+

1

2

)，利用{

1

an-1

+

1

2

}為等比數(shù)列求解
解法二：由1+n=2+（n-1），得出

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a2+an-1

(1+a2)(1+an-1)

，繼而轉(zhuǎn)化為

1-an

1+an

=

1

3

1-an-1

1+an-1

，利用數(shù)列{

1-an

1+an

}為等比數(shù)列求解
（II）cn=an+1-an=1-

2

3n+1+1

-1+

2

3n+1

=

4•3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

4•3n

32n+1+4•3n+1

=

4

3n+1+4+ 1 3n

＜

4

3n+1

，經(jīng)放縮后，利用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)后可證明．

解答：解：（I）解法一：特征根法，令α=

2α+1

α+2

得α=1
∴an-1=

2an-1+1

an-1+2

-1=

an-1-1

an-1+2

∴

1

an-1

=

an-1+2

an-1-1

=

3

an-1-1

+1
再利用構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式
設(shè)

1

an-1

-p=3(

1

a n-1-1

-p)
∴

1

an-1

=

3

an-1-1

-2p∴-2p=1∴p=-

1

2

∴

1

an-1

+

1

2

=3(

1

an-1-1

+

1

2

)又   

1

an-1

+

1

2

=-

3

2

∴

1

an-1

=-

1

2

•3n-

1

2

∴an-1=-

2

3n+1

∴an=

3n-1

3n+1

解法二：由

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

得

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a2+an-1

(1+a2)(1+an-1)

將a₁=

1

2

，a2=

4

5

，代入化簡(jiǎn)得
a_n=

2an-1+1

an-1+2

所以

1-an

1+an

=

1

3

1-an-1

1+an-1

故數(shù)列{

1-an

1+an

}為等比數(shù)列，從而

1-an

1+an

=

1

3n

，a_n=

3n-1

3n+1

（II）∵an=

3n-1

3n+1

=1-

2

3n+1

∴cn=an+1-an=1-

2

3n+1+1

-1+

2

3n+1

=

4•3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

4•3n

32n+1+4•3n+1

=

4

3n+1+4+ 1 3n

＜

4

3n+1

∴Tn=c1+c2+…+cn＜4(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

)=4•

1 9 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

2

3

(1-

1

3n

)＜

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化構(gòu)造的思想方法以及放縮法證明不等式．綜合性較強(qiáng)．