Question

汶川震后在社會(huì)各界的支持和幫助下，汶川一中臨時(shí)搭建了學(xué)校，學(xué)校餐廳也做到了保證每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩樣菜可供選擇（每個(gè)學(xué)生都將從二者中選一），為了讓學(xué)生們能夠安心上課對(duì)學(xué)生的用餐情況進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查資料表明，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會(huì)有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，若用A_n、B_n分別表示在第n個(gè)星期一選A、B菜的人數(shù)．
（1）試以A_n表示A_n+1；
（2）若A₁=200，求{A_n}的通項(xiàng)公式；
（3）問(wèn)第n個(gè)星期一時(shí)，選A與選B的人數(shù)相等？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)在本周星期一選A菜的，下周星期一會(huì)有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，可得A_n+1=A_n•（1-0.2）+0.3•B_n，結(jié)合A_n+B_n=1000，即可以A_n表示A_n+1；
（2）由（1）確定{A_n-600}可以看成是首項(xiàng)為-400，公比為的等比數(shù)列，即可求{A_n}的通項(xiàng)公式；
（3）確定A_n=500，利用通項(xiàng)建立方程，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題可知，∵在本周星期一選A菜的，下周星期一會(huì)有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，
∴A_n+1=A_n•（1-0.2）+0.3•B_n，
又A_n+B_n=1000，所以整理得：．…（3分）
（2）若A₁=200，且，設(shè)，則x=-600，
∴，
即{A_n-600}可以看成是首項(xiàng)為-400，公比為的等比數(shù)列．
∴；…（9分）
（3）∵A_n=B_n，又A_n+B_n=1000，則A_n=500，
由得n=3．
即第3個(gè)星期一時(shí)，選A與選B的人數(shù)相等．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查求數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列遞推式，從而確定數(shù)列的通項(xiàng)．