Question

已知正四棱錐的側(cè)面是正三角形，設(shè)側(cè)面與底面所成的二面角為θ₁，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為θ₂，則（ ）
A．
B．
C．θ₁=θ₂
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知中正四棱錐的側(cè)面是正三角形，側(cè)面與底面所成的二面角為θ₁，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為θ₂，我們可以畫出滿足條件的圖形，結(jié)合二面角的定義，我們可以找到θ₁，θ₂對應(yīng)的平面角，解三角形求出它們的三角函數(shù)值，進而可以判斷出θ₁與θ₂的關(guān)系．
解答：解：正四棱錐S-ABCD中，取AB的中點E，AB的中點F，底面ABCD的中點O，
連接AF，CF，AC，SE，SO，OE，
由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，易得∠SEO=θ₁，∠AFC=θ₂，
由已知中四棱錐的側(cè)面是正三角形，故邊長設(shè)為1，
則在△SOE中，SE=，OE=
∴cos∠SEO=cosθ₁==
在△AFC中，AF=FC=，AC=
則cos∠AFC=cosθ₂=
又∵cos2θ₁=2cos²θ₁-1=
故θ₂=2θ₁，
即
故選D
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，其中畫出滿足條件的圖象，找出二面角的平面角，將二面角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，是解答本題的關(guān)鍵．