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設f（x）=1g（
2
1-x
+a）是奇函數，且在x=0處有意義，則該函數是（　�。�
A、（-∞，+∞）上的減函數
B、（-∞，+∞）上的增函數
C、（-1，1）上的減函數
D、（-1，1）上的增函數
分析：由f（0）=0，求得a的值，可得f（x）=lg（
1+x
1-x
），由此求得函數f（x）的定義域．再根據f（x）=
lg（-1-
2
x-1
），以及t=-1-
2
x-1
在（-1，1）上是增函數，可得結論．
解答：解：由于f（x）=1g（
2
1-x
+a）是奇函數，且在x=0處有意義，
故有f（0）=0，即 lg（2+a）=0，解得 a=-1．
故f（x）=1g（
2
1-x
-1）=lg（
1+x
1-x
）．
令
1+x
1-x
＞0，求得-1＜x＜1，故函數f（x）的定義域為（-1，1）．
再根據f（x）=lg（
1+x
1-x
）=lg（-1-
2
x-1
），函數t=-1-
2
x-1
在（-1，1）上是增函數，
可得函數f（x）在（-1，1）上是增函數，
故選 D．
點評：本題主要考查函數的奇偶性，復合函數的單調性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=alnx，g(x)=
1
2
x2．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）記g'（x）為g（x）的導函數，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求實數a的取值范圍；
（3）若在[1，e]上存在一點x0，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+
1
g′(x0)
成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在x∈[-
1
2
，1)上的最大值為
3
8
，求實數b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設F(x)=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，對任意給定的正實數a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•泰州二模）已知函數f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范圍；
（2）設F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
若P是曲線y=F（x）上異于原點O的任意一點，在曲線y=F（x）上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安慶二模）已知函數f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（I）求f（x）的單調區(qū)間；
（II）若對任意x∈[1，e]，使得g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）設F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，曲線y=F（x）上是否總存在兩點P，Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為鈍角柄點的鈍角三角形，且最長邊的中點在y軸上？請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范圍；
（2）設F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
若P是曲線y=F（x）上異于原點O的任意一點，在曲線y=F（x）上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

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