Question

設(shè)矩陣A=

1 a 0 1

（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的結(jié)論，求證：Aⁿ的特征值是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，并求出此常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專(zhuān)題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）利用矩陣的乘法求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：A2=

1 a2 0 1

，A3=

1 a3 0 1

，An=

1 an 0 1

；
（2）證明：設(shè)Aⁿ的特征值為λ，則
f(λ)=

.

λ-1 an 0 λ-1

.

=0，∴λ=1∴

0x+any=0 0x+0y=0

，
y=0，x為任意實(shí)數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的特征向量為

1 0

又因?yàn)锳

a

=λ

a

，所以An

a

=λn

a，

所以An的特征值為λn=1，與n無(wú)關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查矩陣乘法、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．