Question

（2012•貴州模擬）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+c（a＞0）．
（Ⅰ）當a=2，且f（x）的極小值為

23

27

時，求c；
（Ⅱ）若f（|x|）≥c-5對x∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數(shù)，研究函數(shù)的極值點，通過比較與端點的大小從而確定出極小值，進而求出變量c的值；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，把區(qū)間范圍縮小至[0，2]，求函數(shù)在[0，2]上的最小值，使最小值大于等于c-5，從而求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³+2x²-4x+c，則f^′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），由f′(x)＞0，得x＜-2或x＞

2

3

，由f′(x)＜0， 得-2＜x＜

2

3

，故f（x）增區(qū)間為(-∞，-2)，(

2

3

，+∞)，減區(qū)間為(-2，

2

3

)，函數(shù)的極小值為f(

2

3

)=-

40

27

+c=

23

27

，
∴c=

7

3

．
（Ⅱ）由于y=f（|x|）為偶函數(shù)，要使x∈[-2，2]時時f（|x|）≥c-5恒成立，只需當x∈[0，2]時f（x）≥c-5
而當x∈[0，2]時，f^′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），當0＜x＜

2

3

時，f（x）在[0，

a

3

]上為減函數(shù)，在[

a

3

，2]上為增函數(shù)，故知f（x）在[0，2]上的最小值為f(

a

3

)
則有

f( a 3 )≥c-5 0＜ a 3 ＜2

∴0＜a≤3
當

a

3

≥2時，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，∴f（x）在[0，2]上的最小值為f（2）
則有

f(2)≥c-5 0＜ a 3 ＜2

此時a不存在．
綜上可知a的取值范圍是（0，3]．

點評：本題考查了函數(shù)極值，函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，同時綜合運用了函數(shù)的性質(zhì)，解答不等式恒成立時體現(xiàn)了分類討論的思想．