在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點.

（1）證明AC⊥SB；

（2）求二面角N—CM—B的余弦值；

（3）求點B到平面CMN的距離.

思路分析：由題目所給的條件，恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)表示的內(nèi)容進(jìn)行證明、求解即可.

解：（1）證明如下，取AC中點O，連結(jié)OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，

∴SO⊥面ABC.∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

則A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，，0）.∴=（-4，0，0），=（0，-，2），∵·=（-4，0，0）·（0，-，2）=0，

∴AC⊥BS.

（2）解：由（1），得M（1，，0），=（3，，0），（-2，0，2）=（-1，0，1）.

設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則

取x=-1,y=,z=-1,則n=(-1,,-1),

又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，

∴cos〈n,〉=.

∴二面角N-CM-B的余弦值為.

（3）解：由（1）（2），得=（2，，0）.n=（-1，，-1）為平面CMN的一個法向量.∴點B到平面CMN的距離d=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點，將三角形ABC分割成三個小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內(nèi)切球半徑的計算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O為BC中點．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側(cè)面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，
3
2
，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　　）

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