已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）設(shè)
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求證△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)向量
s
=(2sinC，-
3
)，
t
=(cos2C，2cos2
C
2
-1)，且
s
∥
t
，若sinA=
12
13
，求sin(
π
3
-B)的值．
分析：（1）利用
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，推出
AB
2-
BC
2=0，得到|
AB
|=|
BC
|，即可證明△ABC是等腰三角形；
（2）利用
s
∥
t
，求出C的值，通過sinA=
12
13
，求出cosA，然后利用兩角差的正弦函數(shù)求sin(
π
3
-B)的值．
解答：解：（1）因為
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，所以
CA
•(
BC
-
AB
)=0，
又
AB
+
BC
+
CA
=0，
所以
CA
=-(
AB
+
BC
)，所以-(
AB
+
BC
)•(
BC
-
AB
)=0，
所以
AB
2-
BC
2=0，（4分）
所以|
AB
|2=|
BC
|2，即|
AB
|=|
BC
|，故△ABC為等腰三角形．          （6分）
（2）∵
s
∥
t
，∴2sinC（2cos2
C
2
-1）=-
3
cos2C，
∴sin2C=-
3
cos2C，即tan2C=-
3
，
∵C為銳角，∴2C∈（0，π），
∴2C=
2π
3
，∴C=
π
3
．       （8分）
∴A=
2π
3
-B，
∴sin(
π
3
-B)=sin[(
2π
3
-B)-
π
3
]=sin(A-
π
3
)．         （10分）
又sinA=
12
13
，且A為銳角，∴cosA=
5
13
，（12分）
∴sin(
π
3
-B)=sin(A-
π
3
)=sinAcos
π
3
-cosAsin
π
3
=
12-5
3
26
．              （14分）
點評：本題考查向量的數(shù)量積與向量的平行的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，注意角的范圍的確定是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，定義向量
m
=(2sinB，-
3
)，
n
=(cos2B，2cos2
B
2
-1)且
m
∥
n
．
（1）求函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果b=2，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）設(shè)
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求證：△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin（
π
3
-B）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•許昌三模）已知向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)與 
b
=(1，y)共線，設(shè)函數(shù)y=f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及最大值；
（2）已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A、B、C，若有f(A-
π
3
)=
3
，邊BC=
7
，sinB=
21
7
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•煙臺二模）已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，定義向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=(2cos2
B
2
-1，cos2B)，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．

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