Question

已知各項均為正實數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3對于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前n項和，求證T_n＜5．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接把n=1代入4S_n=a_n²+2a_n-3再結(jié)合各項均為正實數(shù)即可求出a₁；
（Ⅱ）直接根據(jù)4S_n=+2a_n-3以及4s_n-1=+2a_n-1-3；作差整理求出a_n-a_n-1=2，得到數(shù)列的規(guī)律，即可求出結(jié)論；
（Ⅲ）先求出數(shù)列的通項公式，在利用錯位相減法求和，進而證明結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）當n=1時，4S₁=4a₁=+2a₁-3，，得-4a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由條件a_n＞0，所以a₁=3．      …（2分）
（Ⅱ）當n≥2時，4S_n=+2a_n-3，4s_n-1=+2a_n-1-3；
則4S_n-4S_n-1=+2a_n-3--2a_n-1+3，
所以4a_n=+2a_n--2a_n-1，-2a_n--2a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由條件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=2n+1．   …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）b_n===2ⁿ，=，…（8分）
∴T_n=++…++，①…（9分）
將上式兩邊同乘以，得
T_n=++…++        ②…（10分）
①-②，得
T_n=+++…+-=-，
即T_n=5-．…（12分）
∵n∈N^*，∴＞0
∴T_n＜5．…（13分）
點評：本題主要考察數(shù)列與不等式的綜合問題．其中涉及到數(shù)列的錯位相減法求和，數(shù)列的錯位相減法求和適用于一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．