Question

已知直線l：6x-5y-28=0交橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)于M，N兩點(diǎn)，B（0，b）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且b為整數(shù)，
而△MBN的重心恰為橢圓的右焦點(diǎn)F₂．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設(shè)此橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，問(wèn)在橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使得∠F₂PF₁=60°？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由M、N兩點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓的方程，由平方差法可求得M，N兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和的關(guān)系，再由△MBN的重心恰為橢圓的右焦點(diǎn)F₂，也可求得M，N兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和，兩者聯(lián)立可求出a、b、c 的關(guān)系．再結(jié)合M、N在直線L上，可求出a、b、c 的值．
（2）假設(shè)存在，在△F₂PF₁中由余弦定理表示出cos∠F₂PF₁，再結(jié)合橢圓的定義和基本不等式即可求解．

解答：解（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
兩式相減得

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=-

y1-y2

x1-x2

=-

6

5

①，
由

x1+x2+0

3

=c，

y1+y2+b

3

=0，得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，代入①
得2b²-5bc+2c²=0?2b=c或b=2c②；
∵M(jìn)、N在直線L上，得6（x₁+x₂）-5（y₁+y₂）=56?18c+5b=56③；
由②③解得（b為整數(shù)）：b=4，c=2，a²=20，
因此橢圓方程為：

x2

20

+

y2

16

=1．
（2）證明：cos∠F1PF2=

r12+r22-16

2r1r2

=

64-2r1r2

2r1r2

≥

128

(r1+r2)2

-1=

3

5

＞

1

2

，
∴∠F₁PF₂＜60°，
∴使∠F₁PF₂=60°的點(diǎn)P不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系、待定系數(shù)法求軌跡方程、橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形等問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大．考查推理能力和運(yùn)算能力．