Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，關于的不等式恒成立；

（3）若正實數(shù)滿足，證明．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導函數(shù)，從而可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其最值，將恒成立問題進行轉(zhuǎn)化；（3）將代數(shù)式放縮，構(gòu)造關于的一元二次不等式，解不等式即可．

試題解析：（1），由，得，

又，所以，所以的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間是，

（2）令，

所以

因為，

所以，令，得，

所以當；當時，，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

故函數(shù)的最大值為

令，因為，又因為在是減函數(shù)，

所以當時，，即對于任意正數(shù)總有，

所以關于的不等式恒成立；

（3）由，

即，

從而

令，則由得，，

可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以，又，

因此成立．