Question

為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨(dú)設(shè)置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很嚴(yán)重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費(fèi)，就想適時調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計每個月人住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧人住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：
①每年相同的月份，人住客棧的游客人數(shù)基本相同；
②人住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；
③2月份人住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．
（1）試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；
（2）請問哪幾個月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12；根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）-f（2）=400；根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，由此可得函數(shù)解析式；
（2）由條件知，200sin（

π

6

x-

5π

6

）+300≥400，結(jié)合x∈N^*，1≤x≤12，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)該函數(shù)為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）
根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12，∴

2π

ω

=12，∴ω=

π

6

；
根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）-f（2）=400，故該函數(shù)的振幅為200；
根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，∴f（8）=500
∴

-A+B=100 A+B=500

，∴

A=200 B=300

∵f（2）最小，f（8）最大，
∴sin（2×

π

6

+φ）=-1，sin（8×

π

6

+φ）=1，
∵0＜|φ|＜π，
∴φ=-

5π

6

∴f（x）=200sin（

π

6

x-

5π

6

）+300；
（2）由條件知，200sin（

π

6

x-

5π

6

）+300≥400，化簡可得sin（

π

6

x-

5π

6

）≥

1

2

，
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

x-

5π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z
∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z
∵x∈N^*，1≤x≤12
∴x=6，7，8，9，10
∴只有6，7，8，9，10五個月份要準(zhǔn)備400份以上的食物．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型的問題．解題的技巧是從問題中發(fā)現(xiàn)周期變化的規(guī)律，并將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜�角函�?shù)模型．