Question

已知點是橢圓：上一點，分別為的左右焦點，，的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達定理的應(yīng)用.第一問是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義，三個方程聯(lián)立，解出，再根據(jù)的關(guān)系求，本問分析已知條件是解題的關(guān)鍵；第二問是直線與橢圓相交于兩點，先設(shè)出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊含了分類討論的思想的應(yīng)用.
試題解析：（Ⅰ）在中，
由，得．
由余弦定理，得
，
從而，即，從而，
故橢圓的方程為．                                          6分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，
由，得．                 8分
設(shè)，，，．
從而．                                                                             11分
當(dāng)直線的斜率不存在時，得，得．
綜上，恒有．                                              12分