Question

8．已函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，在[0，1]上f（x）=2^x+ln（x+1）-1；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；并判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性，將x∈[-1，0]，轉(zhuǎn)化為-x∈[0，1]上即可求函數(shù)f（x）的解析式；并根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性．
（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0轉(zhuǎn)化為f（2x-1）≥-f（1-x²）=f（x²-1），解不等式即可．

解答 解：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
∵在[0，1]上f（x）=2^x+ln（x+1）-1，
∴f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-ln（-x+1）+1，x∈[-1，0]，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+ln（x+1）-1，0≤x≤1}\\{-{2}^{-x}-ln（1-x）+1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$；
∵y=2^x，y=ln（x+1），在定義域上為增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞增．
（2）由f（2x-1）+f（1-x²）≥0，得f（2x-1）≥-f（1-x²）=f（x²-1）．
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴-f（1-x²）=f（x²-1）．
即不等式等價(jià)為f（2x-1）≥f（x²-1）．
∵f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞增．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{2x-1≥{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得x=0．
故不等式的解集為{0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．