Question

已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F₁,F₂在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線(xiàn)的方程.
(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線(xiàn)上,求證:·=0.
(3)求△F₁MF₂的面積.

Answer 1

(1) x²-y²=6   (2)見(jiàn)解析   (3)6

(1)∵e=,
∴可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x²-y²=λ(λ≠0).
∵過(guò)點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴雙曲線(xiàn)方程為x²-y²=6.
(2)方法一:由(1)可知,雙曲線(xiàn)中a=b=,
∴c=2,∴F₁(-2,0),F₂(2,0).
∴=,=,
·==-.
∵點(diǎn)M(3,m)在雙曲線(xiàn)上,
∴9-m²=6,m²=3.
故·=-1,∴MF₁⊥MF₂.
∴·=0.
方法二:∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m²=-3+m².
∵M(jìn)(3,m)在雙曲線(xiàn)上,
∴9-m²=6,即m²-3=0.
∴·=0.
(3)△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4,
△F₁MF₂的邊F₁F₂上的高h(yuǎn)=|m|=,
∴=6.