Question

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，則x+y的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺為△ABC的外心，把AB的中垂線(xiàn) m方程和AC的中垂線(xiàn) n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．
解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2a，0），C（-，），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線(xiàn) m：x=a上，又在AC的中垂線(xiàn) n 上，
AC的中點(diǎn)（-，），AC的斜率為tan120°=-，
∴中垂線(xiàn)n的方程為 y-=（x+）．
把直線(xiàn) m和n 的方程聯(lián)立方程組 ，
解得△ABC的外心O（a，+），
由條件 =x+y，得（a，+）
=x（2a，0）+y（-，）=（2ax-，），
∴，解得x=+，y=，
∴x+y=++=+（）=2．
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．