已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離等于5.
(I)求拋物線G的方程;
(II)如圖,過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+(y-1)2=1交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明|AC|•|BD|為定值;
(III)過(guò)A、B分別作拋物G的切線l1,l2且l1,l2交于點(diǎn)M,試求△ACM與△BDM面積之和的最小值.

【答案】分析:(1)第一小題較為簡(jiǎn)單,因?yàn)閽佄锞是標(biāo)準(zhǔn)方程,只須求參數(shù)P;
(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算過(guò)程中消去變量,從而得到定點(diǎn);
(3)欲求面積之和的最小值,利用直線AB的斜率作為自變量,建立函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題.
解答:解:(1)由題知,拋物線的準(zhǔn)線方程為y+1=0,=1
所以拋物線C的方程為x2=4y.

(2)設(shè)直線AB方y(tǒng)=kx+1交拋物線C于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
由拋物線定義知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AC|=y1,|BD|=y2
得x2-4kx-4=0,
顯然△>0,則x1+x2=4k,x1•x2=-4,
所以y1•y2==1,所以|AC|•|BD|為定值1.

(3)解:由x2=4y,y=x2,y=x,
得直線AM方程y-=x1(x-x1)(1),
直線BM方程y-=x2(x-x2)(2),
由(2)-(1)得(x1-x2)x=-,
所以x=(x1+x2)=2k,∴y=-1
所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(2k,-1),
點(diǎn)M到直線AB距離d==2,
弦AB長(zhǎng)為|AB|===4(1+k2),
△ACM與△BDM面積之和,
S=(|AB|-2)•d=×(2+4k2)×2=2(1+2k2,
當(dāng)k=0時(shí),即AB方程為y=1時(shí),△ACM與△BDM面積之和最小值為2.
點(diǎn)評(píng):新課標(biāo)下的圓錐曲線題一般是壓軸題,主要考查橢圓或拋物線的有關(guān)知識(shí),本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、探究能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,背景新穎,綜合要求高.?dāng)?shù)學(xué)中的最值與定值問(wèn)題,歷來(lái)是高考的熱點(diǎn).求解定值與最值的基本策略有二:一是從幾何角度考慮,當(dāng)題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí),可用圖形性質(zhì)來(lái)解;二是從代數(shù)角度考慮,當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí),可通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù),求其目標(biāo)函數(shù)的最值.
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(I)求拋物線G的方程;
(II)如圖,過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+(y-1)2=1交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明|AC|•|BD|為定值;
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