Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn)，現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離ρ（A，B）為ρ（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
對(duì)于平面xOy上給定的不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若點(diǎn)C（x，y）是平面xOy上的點(diǎn)，試證明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；
（2）在平面xOy上是否存在點(diǎn)C（x，y），同時(shí)滿足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)，請(qǐng)予以證明．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)|a|+|b|≥|a+b|
（2）假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在，檢驗(yàn)條件①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）與②ρ（A，C）=ρ（C，B）同時(shí)成立時(shí)，x，y的值是否存在．

解答：（1）證明：由絕對(duì)值不等式知，
ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x-x₁|+|x₂-x|+|y-y₁|+|y₂-y
≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=ρ（A，B）
當(dāng)且僅當(dāng)（x-x₁）•（x₂-x）≥0，且（y-y₁）•（y₂-y）≥0時(shí)等號(hào)成立．
（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得
（x-x₁）•（x₂-x）≥0且（y-y₁）•（y₂-y）≥0  （Ⅰ）
由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x-x₁|+|y-y₁|=|x₂-x|+|y₂-y|（Ⅱ）
因?yàn)锳（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是不同的兩點(diǎn)，則：1°若x₁=x₂且y₁≠y₂，
不妨設(shè)y₁＜y₂，由（Ⅰ）得x=x₁=x₂，且y₁≤y≤y₂，
由（Ⅱ）得y=

y1+y2

2

，
此時(shí)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，即只有點(diǎn)C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)滿足條件；
2°若x₁≠x₂且y₁=y₂，
同理可得：只有AB的中點(diǎn)C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)滿足條件；
3°若x₁≠x₂且y₁≠y₂，不妨設(shè)x₁＜x₂且y₁＜y₂，
由（Ⅰ）得x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂，
由（Ⅱ）得x+y=

x1+x2

2

+

y1+y2

2

，
此時(shí)，所有符合條件的點(diǎn)C的軌跡是一條線段，即：過(guò)AB的中點(diǎn)(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
斜率為-1的直線x+y=

x1+x2

2

+

y1+y2

2

夾在矩形AA₁BB₁之間的部分，
其中A（x₁，y₁），A₁（x₂，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₁，y₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．