Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，則下列說(shuō)法一定正確的是（　�。�

• A、f（x）-1是奇函數(shù)
• B、f（x）-1是偶函數(shù)
• C、f（x）+1是奇函數(shù)
• D、f（x）+1是偶函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，考察四個(gè)選項(xiàng)，本題要研究函數(shù)的奇偶性，故對(duì)所給的x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1進(jìn)行賦值研究即可

解答： 解：∵對(duì)任意x₁，x₂∈R有
f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=-1
∴令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1為奇函數(shù)．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．