Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|．
（1）若g（x）=ax-f（x）≥0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線(xiàn)y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，求證：

cosα

sinα+sin3α

=

1+α2

4α

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可知，我們只需要考慮x∈[0，

π

2

)，此時(shí)g（x）=ax-sinx，利用導(dǎo)數(shù)工具，求導(dǎo)g′（x）=a-cosx，再對(duì)a值進(jìn)行分類(lèi)討論研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）f（x）的圖象與直線(xiàn)y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖所示，且在(π，

3

2

π)內(nèi)相切，其切點(diǎn)為A（α，-sinα），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出：-cosα=

-sinα

α

⇒α=tanα，再化簡(jiǎn)欲證等式的左邊即可說(shuō)不得結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)圖象可知，我們只需要考慮x∈[0，

π

2

)，
此時(shí)g（x）=ax-sinx
所以g′（x）=a-cosx
當(dāng)a≥1時(shí)，g′（x）≥0，易知函數(shù)g（x）單調(diào)增，
從而g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當(dāng)a≤0，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)減，從而g（x）≤g（0）=0，不符合題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，顯然存在x0∈[0，

π

2

)，使得g′（x）=0，且x∈[0，x₀）時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)減，
從而g（x）≤g（0）=0，不符合題意．
綜上討論知a≥1．
（2）f（x）的圖象與直線(xiàn)y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)如圖所示，
且在(π，

3

2

π)內(nèi)相切，其切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈(π，

3

2

π)
由于f′（x）=-cosx，x∈(π，

3

2

π)，
則-cosα=

-sinα

α

⇒α=tanα
故

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

sinα+3sinα-4sin 3α

=

sin2α+cos2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．