Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）請(qǐng)用尺子把右邊圖形畫在答題卡上
（2）試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F
（3）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出直線D₁E所在的向量與AF所在的向量，利用線面垂直關(guān)系得到向量的數(shù)量積為0，進(jìn)而得到答案．
（3）分別求出兩個(gè)平面的法向量，再求出兩個(gè)向量的夾角，利用向量的夾角與二面角之間的關(guān)系可得二面角的余弦值．
解答：解：（1）如圖
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸正向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A（0，0，0），B₁（1，0，1），E（1，，0）
設(shè)F（a，1，0）（0≤a≤1）則，，，
∴即D₁E⊥AB₁
要使得D₁E⊥平面AB₁F，
∴必須且只需即，即：a=．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則D₁E⊥AF
又因?yàn)镈₁E⊥AB₁，AF∩AB₁=A
所以D₁E⊥平面AB₁F．
所以當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F．
（3）由（2）可得點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，所以F（），所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231302443423954/SYS201311012313024434239016_DA/12.png">，所以．
設(shè)是平面C1EF的一個(gè)法向量，
則，
于是
取z=1，則y=-2，x=-2，所以=（-2，-2，1）是平面C₁EF的一個(gè)法向量．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231302443423954/SYS201311012313024434239016_DA/18.png">=（0，0，1）是平面AEF的一個(gè)法向量，
所以cos=，
因?yàn)槎�面角C₁-EF-A為鈍角，所以二面角C₁-EF-A的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題要熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)而利用空間向量解決線面垂直、平行關(guān)系，以及空間角與空間距離等問(wèn)題．