Question

已知x，y，z都是正實數(shù)，且x+2y+z=1，則

1

x+y

+

2

y+z

的最小值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、3+2

  2

• D、2+2

  2

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：令x+y=t，則y+z=1-t，t∈（0，1），換元并變形可得

1

x+y

+

2

y+z

1

-(t+1)- 2 t+1 +3

，由基本不等式和不等式的性質(zhì)可得．

解答： 解：∵x，y，z都是正實數(shù)，且x+2y+z=1，
∴令x+y=t，則y+z=1-t，t∈（0，1），
∴

1

x+y

+

2

y+z

=

1

t

+

2

1-t

=

t+1

-t2+t

=

t+1

-(t+1)2+3(t+1)-2

=

1

-(t+1)- 2 t+1 +3

，
∵t∈（0，1），∴t+1∈（1，2），
∴-（t+1）-

2

t+1

=-[（t+1）+

2

t+1

]≤-2

2

，
∴-（t+1）-

2

t+1

+3≤3-2

2

，
∴

1

-(t+1)- 2 t+1 +3

≥

1

3-2 2

=3+2

2

故選：C．

點評：本題考查基本不等式求最值，換元并變形為可利用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．