Question

已知函數(shù)f(x)＝(a＞0，a≠1)，(1)證明：f(x)＋f(1－x)＝－1；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(x)＋f(1－x)＝＋()＝＝＝－1． 　　(2)由(1)f(x)＋f(1－x)＝－1．令x＝－2，得f(－2)＋f[1－(－2)]＝－1， 　　即f(－2)＋f(3)＝－1．同理f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1． 　　所以f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3． 　　點(diǎn)評(píng)：如果能夠注意到直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)P′(1－x，－1－y)關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱，那么第(1)小題的實(shí)質(zhì)就是證明函數(shù)f(x)＝(a＞0，a≠1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱．據(jù)此，我們可以得到證明某一函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于某一個(gè)定點(diǎn)O對(duì)稱的一般方法：設(shè)點(diǎn)P(x，y)在函數(shù)f(x)的圖象上，求出P(x，y)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)，然后將P′的坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)，如果P′的坐標(biāo)滿足函數(shù)f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于某一個(gè)定點(diǎn)O對(duì)稱，如果P′的坐標(biāo)不滿足函數(shù)f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于某一個(gè)定點(diǎn)O對(duì)稱．對(duì)于第(2)小題的求解，運(yùn)用了第(1)小題證得的結(jié)論．這種解題的方法是在解具有遞進(jìn)關(guān)系或具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的一系列題時(shí)的一種常用的技巧，我們必須好好地加以體會(huì)．

提示：

要證明等式f(x)＋f(1－x)＝－1成立，可以直接通過指數(shù)進(jìn)行運(yùn)算即可證得；而要求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值，如果直接將相應(yīng)的值(如－2)等直接代入計(jì)算，比較煩瑣．所以考慮另外的途徑，例如能否利用(1)的結(jié)論解題．