Question

下列命題中，真命題是（ ）
A．?x∈R，sinx+cosx=1.5
B．?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．?x∈R，x²+x=-1
D．?x∈（0，π），sinx＞cos

Answer 1

【答案】分析：利用輔助角公式可將sinx+cosx化為正弦型函數的形式，進而根據三角函數的值域判斷A的真假，構造函數y=e^x-x+1，根據導數法求出函數的單調性進而求出值域，可判斷B的真假，根據二次函數的值域，可判斷C的真假，構造函數sinx-cosx進而轉化為正弦型函數的形式，進而根據三角函數的值域判斷D的真假．
解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]
∴A“?x∈R，sinx+cosx=1.5”為假命題；
∵當x∈（0，+∞）時，函數y=e^x-x+1的導函數
y′=e^x-1＞0，故函數y=e^x-x+1在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增
∴y=e^x-x+1＞y|_x=0=2
即e^x＞x+1恒成立，故B“?x∈（0，+∞），e^x＞x+1”恒成立；
∵x²+x=（x+）²-≥-
∴C“?x∈R，x²+x=-1”為假命題；
∵當x∈（0，），sinx＜cosx
∴D“?x∈（0，π），sinx＞cosx”為假命題；
故選B
點評：本題考查的知識點是命題真假判斷與應用，函數的值域，其中根據各種基本初等函數的值域，判斷四個答案的真假是解答本題的關鍵．