Question

已知函數(shù)f（x）=e^xsinx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對于任意的x∈[0，

π

2

]，f（x）≥kx總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]．過點(diǎn)M（

π-1

2

，0）作函數(shù)F（x）圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，求數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和S的值．

Answer 1

（1）由于f（x）=e^xsinx．所以
f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=ex(sinx+cosx)=

2

exsin(x+

π

4

)．
當(dāng)x+

π

4

∈(2kπ，2kπ+π)，即x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x+

π

4

∈(2kπ+π，2kπ+2π)，即x∈(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)（k∈Z）．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx總成立，只需在x∈[0，

π

2

]時(shí)g（x）_min≥0．
對g（x）求導(dǎo)得g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h′（x）=2e^xcosx＞0，（x∈(0，

π

2

)）
所以h（x）在在[0，

π

2

]上為增函數(shù)，所以h(x)∈[1，e

π

2

]．
對k分類討論：
①當(dāng)k≤1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，

π

2

]上為增函數(shù)，所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②當(dāng)1＜k＜e

π

2

時(shí)，g′（x）=0在上有實(shí)根x₀，因?yàn)閔（x）在(0，

π

2

)上為增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合題意；
③當(dāng)k≥e

π

2

時(shí)，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在(0，

π

2

)上為減函數(shù)，
則g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]．
（3）因?yàn)镕（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），所以F′（x）=2e^xcosx，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ex0(sinx0+cosx0))，則斜率為f′(x0)=2ex0cosx0，
切線方程為y-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x-x0)，
將M(

π-1

2

，0)的坐標(biāo)代入切線方程，得
-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(

π-1

2

-x0)
-tanx0-1=-2(x0-

π-1

2

)，即tanx0=2(x0-

π

2

)，
令y₁=tanx，y2=2(x-

π

2

)，則這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)(

π

2

，0)對稱，
它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于

π

2

對稱成對出現(xiàn)，
方程tanx=2(x-

π

2

)x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]的根，
即所作的所有切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列{x_n}的項(xiàng)也關(guān)于

π

2

對稱成對出現(xiàn)，
在[-

2011π

2

，

2013π

2

]內(nèi)共構(gòu)成1006對，每對的和為π，
因此數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)的和S=1006π．