已知函數(shù),g(x)=bx2+3x.
(Ⅰ)若曲線h(x)=f(x)-g(x)在點(1,0)處的切線斜率為0,求a,b的值;
(Ⅱ)當a∈[3,+∞),且ab=8時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求函數(shù)在區(qū)間[-2,-1]上的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)由h(x)在點(1,0)處的切線斜率為0,得,由該方程組即可解得a,b值;
(Ⅱ) 由ab=8可把φ(x)表示出含a的函數(shù),求導(dǎo)φ′(x),在定義域內(nèi)解不等式φ′(x)>0,φ′(x)<0即得單調(diào)區(qū)間;由a∈[3,+∞),得,按照極大值點-在區(qū)間[-2,-1]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進行討論即可得到答案;
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)h(x)定義域為{x|x≠-a},

∵h(x)在點(1,0)處的切線斜率為0,
,即,解得;
(Ⅱ)φ(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),
∵ab=8,所以,∴(x≠-a),
,
令φ'(x)=0,得,或
∵因為a∈[3,+∞),∴所以,
∴故當,或時,φ'(x)>0,當時,φ'(x)<0,
∴函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,
∵a∈[3,+∞),∴,
①當,即a≥12時,∵φ(x)在[-2,-1]單調(diào)遞增,
∴φ(x)在該區(qū)間的最小值為;
②當,即6<a<12時,
∵φ(x)在[-2,)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴φ(x)在該區(qū)間的最小值為=;
③當時,即3≤a≤6時,∵φ(x)在[-2,-1]單調(diào)遞減,
∴φ(x)在該區(qū)間的最小值為,
綜上所述,當3≤a≤6時,最小值為;當6<a<12時,最小值為;當a≥12時,最小值為
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識,考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學生分析解決問題的能力,充分體會數(shù)形結(jié)合思想在(Ⅱ)問中的應(yīng)用.
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