Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0時，函數(shù)有極值，所以當(dāng)a=0時，必須先在定義域中求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，讓導(dǎo)數(shù)等于0，求x的值，得到極值點，在列表判斷極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負，根據(jù)所列表，判斷何時有極值．
（2）因為當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于0，若f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，則f（x）在區(qū)間上恒大于0，所以只需用（1）中所求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，再判斷所得不等式當(dāng)a為何值時，在區(qū)間上恒大于0即可．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
∵當(dāng)a=0時，f（x）=2x-lnx，則
∴x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	（0，）		（，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）		極小值

∴當(dāng)時，f（x）的極小值為1+ln2，函數(shù)無極大值．
（2）由已知，得
若a=0，由f'（x）＞0得，顯然不合題意
若a≠0∵函數(shù)f（x）區(qū)間是增函數(shù)
∴f'（x）≥0對恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0對恒成立
即 恒成立   故
而當(dāng)，函數(shù)，∴實數(shù)a的取值范圍為a≥3．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值以及函數(shù)單調(diào)性，屬于常規(guī)題，必須掌握．