Question

正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y²=4x上，一條對(duì)角線BD在直線x+2y-4=0上，求此正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC⊥BD，進(jìn)而可知AC斜率是2，設(shè)直線AC方程為y=2x+b，代入拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而求得y₁+y₂，則AC的中點(diǎn)坐標(biāo)可得，代入直線x+2y-4=0中求得b，進(jìn)而求得x₁+x₂和x₁x₂的值，求得（x₁-x₂）²和（y₁-y₂）²，從而求得AC的長(zhǎng)度，根據(jù)AB=

AC

2

求得正方形的邊長(zhǎng)．

解答：解：∵AC⊥BD
∴AC斜率是2
設(shè)直線方程為y=2x+b
代入拋物線方程得4x²+4bx+b²=4x
即4x²+（4b-4）x+b²=0
∴x₁+x₂=-

4b-4

4

=1-b
∵y=2x+b
∴y₁+y₂=2x₁+b+2x₂+b=2（1-b）+2b=2
∵AC中點(diǎn)（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在BD上
∴1=-

1

2

•

1-b

2

+2
∴b=-3
代入4x²+（4b-4）x+b²=0
得4x²-16x+9=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

9

4

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=7
（y₁-y₂）²=[2（x₁-x₂）]²=28
∴AC=

7+28

=

35

∴AB=

AC

2

=

70

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題等考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．