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【題目】已知拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為．

（1）若，過點, 的直線與拋物線相交于另一點，求的值；

（2）若直線與拋物線相交于兩點，與圓相交于兩點， 為坐標原點， ，試問：是否存在實數，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）時 ， 的長為定值．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的性質可得到焦點的距離為可得出，求出的方程，聯立拋物線，故而可得， ，即可得最后結果；（2）設出直線的方程為，設 ，與拋物線方程聯立，運用韋達定理得， ，由，得，將， 代入可得的值，利用直線截圓所得弦長公式得，故當時滿足題意.

試題解析：（1）∵點，∴，解得，

故拋物線的方程為： ，當時，，

∴的方程為，聯立可得， ，

又∵， ，∴．

（2）設直線的方程為，代入拋物線方程可得，

設 ，則， ，①

由得： ，

整理得，②

將①代入②解得，∴直線，

∵圓心到直線l的距離，∴，

顯然當時， ， 的長為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數有35周，超過70小時的周數有10周．根據統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量（百斤）與使用某種液體肥料（千克）之間對應數據為如圖所示的折線圖．

（1）依據數據的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請計算相關系數并加以說明（精確到0．01）．（若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）

（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量限制，并有如下關系：

周光照量（單位：小時）

光照控制儀最多可運行臺數

3

2

1

若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了3臺光照控制儀，求商家在過去50周周總利潤的平均值．

附：相關系數公式，參考數據，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的上頂點到右頂點的距離為，左焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于， 兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程及的取值范圍；

（Ⅱ）在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C： ，點在x軸的正半軸上，過點M的直線與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點．

（1）若，且直線的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（2）是否存在定點M，使得不論直線繞點M如何轉動， 恒為定值？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓的圓心在直線上，且與另一條直線相切于點.

（1）求圓的標準方程；

（2）已知，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，且，設命題p：函數在上單調遞減；命題q：函數 在上為增函數，

（1）若“p且q”為真，求實數c的取值范圍

（2）若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數c的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數y=f(x)，f(0)=-2，且對，yR，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.

（1）求f(x)的表達式；

（2）已知關于x的不等式f(x)-ax+a+1的解集為A，若A[2,3]，求實數a的取值范圍；

（3）已知數列{}中， ， ，記，且數列{的前n項和為，

求證： .

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點為線段的中點， 為坐標原點，則__________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）

A. 至少有一個白球；至少有一個紅球 B. 至少有一個白球；紅、黑球各一個

C. 恰有一個白球；一個白球一個黑球 D. 至少有一個白球；都是白球

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