設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
 （1）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
 （2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。
解：（1）由A1、A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)知


兩式相乘得
∵點(diǎn)P（x1，y1）在雙曲線上
，即
∴
∴
即直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程為；
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且
又設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，
由消去y，得
則
即
設(shè)
則
∴
要使，需使
即0
∴
解得或
∵直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
∴圓的半徑為
，故所求圓為
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足或
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為與橢圓
的兩個(gè)交點(diǎn)為或
滿足
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B
且。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若軌跡C上的點(diǎn)P滿足
.
OP
=λ
.
OA
+μ
.
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ，μ∈R）
求證：λ2+μ2-
10
7
λμ為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•日照一模）已知離心率為
4
5
的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為2
34
．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連結(jié)BP交橢圓于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點(diǎn)N，若
BM
=
MP
．求四邊形ANBM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省南昌十六中高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A1P與A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：模擬題 題型：解答題

設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，-y1）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
（1）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。

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