Question

已知f（x）=（ax²+（a-1）²x-a²+3a-12）e^x，a≥0；g（x）=lnx-x-3．
（1）求g（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，3）上單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知可求g′（x）=

1-x

x

，由于當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，可得g（x）_max的值．
（2）可求得：f′（x）=（ax²+（a²+1）x+a-11）e^x，當(dāng)a=0時，2＜x＜3，f′（x）＜0，符合要求；當(dāng)a＞0時，記m（x）=ax²+（a²+1）x+a-11，對稱軸為：x=-

a2+1

2a

＜0，則要使f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)，只需m（2）≥0或m（3）≤0，從而解得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g′（x）=

1-x

x

…2分
∴當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）_max=g（1）=-4…6分
（2）f′（x）=（ax²+（a²+1）x+a-11）e^x，
當(dāng)a=0時，2＜x＜3，f′（x）＜0，符合要求；…8分
當(dāng)a＞0時，記m（x）=ax²+（a²+1）x+a-11，
對稱軸為：x=-

a2+1

2a

＜0…9分
則要使f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)，只需m（2）≥0或m（3）≤0
即

a＞0 2a2+5a-9≥0

或

a＞0 3a2+10a-11≤0

…11分
解得：a≥

97 -5

4

或0＜a≤

2

3

綜上，a的取值范圍為：a∈[0，

2

3

]∪[

97 -5

4

，+∞）…13分

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查了不等式的解法及應(yīng)用，屬于中檔題．