Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）當a=1時，求過點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（II）若f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=1時，f（x）=e^x+x-1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在點（1，f（1））處的切線的斜率，再由點斜式即可得切線方程，分別求出切線與x軸、y軸的交點A、B，利用直角三角形的面積公式即可求得；
（II）將f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為a≥

1+x2-ex

x

在（0，1 ）上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f'（x）=e^x+1，f'（1）=e+1，
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-1，
設(shè)切線與x軸、y軸的交點分別為A、B，
∴A(

1

e+1

，0)，B（0，-1），
∴S△OAB=

1

2

×

1

e+1

×1=

1

2(e+1)

，
∴過點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為

1

2(e+1)

．
（II）由f（x）≥x²得a≥

1+x2-ex

x

，
令h（x）=

1+x2-ex

x

=

1

x

+x-

ex

x

，h′(x)=1-

1

x2

-

ex(x-1)

x2

=

(x-1)(x+1-ex)

x2

，
令k（x）=x+1-e^x…（6分）k'（x）=1-e^x，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是減函數(shù)，∴k（x）＜k（0）=0．
因為x-1＜0，x²＞0，所以h′(x)=

(x-1)(x+1-ex)

x2

＞0，
∴h（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
所以h（x）＜h（1）=2-e，所以a≥2-e…（12分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)恒成立問題，解決函數(shù)恒成立問題常常利用參變量分離法求出參數(shù)范圍，屬于中檔題．