Question

已知點A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x軸上，滿足a₁=1，a₂=5且

AnAn+1

=

1

2

An-1An

（n=2，3，…）．點B₁（b₁，c₁），B₂（b₂，c₂），…B_n（b_n，c_n），…依次在射線y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|

OBn

|=|

OBn-1

|+2

2

|（n=2，3，…）
（1）用n表示B_n的坐標(biāo)；
（2）用n表示A_n的坐標(biāo)；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與向量的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，可得{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列，即可用n表示B_n的坐標(biāo)；
（2）確定{a_n-a_n-1}組成以4位首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，即可用n表示A_n的坐標(biāo)；
（3）確定數(shù)列{a_n+b_n}的通項，分組求和，即可求S_n．

解答： 解：（1）∵|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

∴{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐標(biāo)為（2n+1，2n+1）．
（2）

AnAn+1

=

1

2

An-1An

且

A1A2

=（4，0），A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x軸上
∴{a_n-a_n-1}組成以4位首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=4•(

1

2

)n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+4+…+4•(

1

2

)n-1=9-2^4-n，
∴A_n的坐標(biāo)（9-2^4-n，0）；
（3）a_n+b_n=9-2^4-n+2n+1=10+2n-2^4-n，
∴S_n=10n+

n(2+2n)

2

-

8(1-2n)

1-2

=11n+n²-2ⁿ⁺³-8．

點評：本小題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性、等比數(shù)列的通項公式、等差關(guān)系的確定等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．