Question

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)由三部分組成：①職工工資固定支出12500元；②原材料費(fèi)每件40元；③電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0.05x元，其中x是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)．
（1）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；
（2）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過(guò)3000件，且產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)Q（x）與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系：Q（x）=170-0.05x，試問(wèn)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤(rùn)最高？（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額-總的成本）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）等于三部分成本和，建立函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y元，根據(jù)總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額-總的成本求出總利潤(rùn)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值時(shí)x的值即可．

解答：解：（1）P(x)=

12500

x

+40+0.05x…（2分）
由基本不等式得P(x)≥2

12500×0.05

+40=90…（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)

12500

x

=0.05x，即x=500時(shí)，等號(hào)成立      …（5分）
∴P(x)=

12500

x

+40+0.05x，成本的最小值為90元．       …（6分）
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y元，則y=xQ（x）-xP（x）=-0.1x²+130x-12500=-0.1（x-650）²+29750…（10分）
當(dāng)x=650時(shí)，y_max=29750…（11分）
答：生產(chǎn)650件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最高，最高總利潤(rùn)為29750元．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了建模的能力，屬于中檔題．