Question

17．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=3，3$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． $\frac{5}{6}$π

Answer 1

分析 利用向量垂直，得到關于數(shù)量積的等式，進一步利用數(shù)量積公式求夾角．

解答 解：因為平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=3，3$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，
所以（3$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
所以3${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{1}{5}{\overrightarrow}^{2}$+$\frac{16}{5}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
所以3+$\frac{9}{5}$+$\frac{16}{5}×1×3$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$；
故選：C．

點評 本題考查了垂直向量的數(shù)量積為0，以及利用向量的數(shù)量積求向量的夾角；屬于基礎題．