Question

如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的點(diǎn)，且CE=1．
（1）求證BE⊥B₁C；
（2）求直線A₁B與直線B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，可得向量的坐標(biāo)，可得

BE

•

B1C

=0，可判垂直；
（2）由（1）可得

B1C

，

A1B

的坐標(biāo)，可得cos＜

A1B

，

B1C

＞，由三角函數(shù)的知識(shí)可得．

解答：解：（1）如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4），E（0，2，1），
∴

BE

=（-2，0，1），

B1C

=（-2，0，-4）．
∴

BE

•

B1C

=4+0-4=0
∴BE⊥B₁C
（2）由（1）可得

B1C

=（-2，0，-4），

A1B

=（0，2，-4），
∴cos＜

A1B

，

B1C

＞=

A1B • B1C

| A1B || B1C |

=

16

20 20

=

4

5

∴二直線成角的正弦值為

3

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．