Question

設函數，數列{a_n}滿足
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令 ，試比較 S_n與的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）由已知，可求a₁=1，由可得a_n+1-a_n=2，從而可得數列{a_n}是首項為1，公差為 2 的等差數列，從而可求通項公式
（2）由（1）可得，則有數列{b_n}是等比數列，利用等比數列的前n項和公式可求S_n，利用裂項求和可求T_n，故比較的大小，只需比較 與的大小即可，即只需比較 2n+1與4ⁿ的大小，利用二項展開式即可
解答：解：（1）∵，
又∵
∴．…（2分）
∴a_n+1=a_n+2即 a_n+1-a_n=2，∴數列{a_n}是首項為1，公差為 2 的等差數列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵∴…（6分）
即數列{b_n}是首項為 ，公比為 的等比數列
∴…（7分）=…（10分）
∴
故比較的大小，只需比較 與的大小即可       …（11分）
即只需比較 2n+1與4ⁿ的大小
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+C_n¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故    …（13分）
點評：本題主要考查了利用遞推公式構造等差（等比）數列求解數列的通項公式，（2）綜合考查了等比數列的前n項和公式及裂項求和的方法在求解數列的和中的應用，結局（2）的關鍵是要把所求的問題進行轉換，結合二項展開式求解即可．