Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，又I為△ABC的內(nèi)心，且b-c=4，b+c-a=6，則$\overrightarrow{AI}$×$\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 設(shè)AD=x，BD=y，CE=z，則$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+y=c}{y+z=a}}\\{z+x=b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{b+c-a}{2}$=3．由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AD}$|（b-c）即可得解．

解答 解：設(shè)AD=x，BD=y，CE=z，
則$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+y=c}{y+z=a}}\\{z+x=b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{b+c-a}{2}$=3，
如圖所示，
∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AI}•$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{AB}$　　
=|$\overrightarrow{AE}$|b-|$\overrightarrow{AD}$|c
=|$\overrightarrow{AD}$|（b-c）
=3×4
=12．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．