Question

如圖，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E，F分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EF∩BD=G.

（Ⅰ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（Ⅱ）求點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d；

（Ⅲ）求三棱錐B₁—EFD₁的體積V.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證法一：連接AC.∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形. ∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1 ∵E，F分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1 ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 證法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. （Ⅱ）解：在對(duì)角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G， ∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=D1H. 解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H， ∵D1B1=A1B1=4. sinD1B1H=sinB1GB=， ∴d=D1H=4· 解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴ ∴d=D1H=. 解法三：如圖，連接D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半.即B1G·D1H=BB12. ∴d=. （Ⅲ）·d·