Question

如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在邊AD的中點(diǎn)O處，有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠EOF始終為

π

4

，設(shè)∠AOE=α，探照燈O照射在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S．
（1）當(dāng)0≤α＜

π

2

時(shí)，寫(xiě)出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來(lái)回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個(gè)來(lái)回”，忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間），且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G，且∠AOG=

π

6

，求點(diǎn)G在“一個(gè)來(lái)回”中，被照到的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H．再討論α的范圍，可得當(dāng)0≤α≤

π

4

時(shí)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上，因此S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF；當(dāng)

π

4

＜α＜

π

2

時(shí)，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上，因此S=S_△OEF．由此即可得到當(dāng)0≤α＜

π

2

時(shí)S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求出在“一個(gè)來(lái)回”中OE共轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，并求出其中點(diǎn)G被照到時(shí)共轉(zhuǎn)的角度，結(jié)合題意列式即可求出“一個(gè)來(lái)回”中點(diǎn)G被照到的時(shí)間．

解答：解：（1）過(guò)O作OH⊥BC，H為垂足．
①當(dāng)0≤α≤

π

4

時(shí)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖①），
此時(shí)，AE=tanα，F(xiàn)H=tan（

π

4

-α），
∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF=1-

1

2

tanα-

1

2

tan（

π

4

-α）．   
②當(dāng)

π

4

＜α＜

π

2

時(shí)，
E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②），
此時(shí)，EH=

1

tanα

，F(xiàn)H=

1

tan( 3π 4 -α)

，可得EF=

1

tanα

+

1

tan( 3π 4 -α)

．
∴S=S_△OEF=

1

2

（

1

tanα

+

1

tan( 3π 4 -α)

）．
綜上所述，S=

1- 1 2 tanα- 1 2 tan( π 4 -α)   (0≤α≤ π 4 ) 1 2 ( 1 tanα + 1 tan( 3π 4 -α) )      ( π 4 ＜α＜ π 2 )

（2）在“一個(gè)來(lái)回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×

3π

4

=

3π

2

，
其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)了2×

π

6

=

π

3

 
∴在“一個(gè)來(lái)回”中，點(diǎn)G被照到的時(shí)間為9×

π 3

3π 2

=2（分鐘）．

點(diǎn)評(píng)：本題以探照燈在矩形區(qū)域內(nèi)照射為例，求陰影部分面積關(guān)于角α的函數(shù)關(guān)系式，并求點(diǎn)G在“一個(gè)來(lái)回”中，被照到的時(shí)間，著重考查了三角函數(shù)的定義、解三角形在實(shí)際問(wèn)題中和函數(shù)關(guān)系式的建立等知識(shí)，屬于中檔題．