選修4-5:不等式證明選講
已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的取值范圍.
分析:由柯西不等式得(
1
2
+
1
3
+
1
6
)(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2
,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,將條件代入,我們就可以求出a的取值范圍.
解答:解:由柯西不等式得(
1
2
+
1
3
+
1
6
)(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2…(4分)
將條件代入可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2…(6分)
當(dāng)且僅當(dāng)
2
b
1
2
=
3
c
1
3
=
6
d
1
6
時等號成立,
可知b=1,c=
1
3
,d=
1
6
時amax=2,b=1,c=
2
3
,d=
1
3
時,amin=1,
所以a的取值范圍是[1,2].…(10分)
點評:柯西不等式的特點:一邊是平方和的積,而另一邊為積的和的平方,因此,當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”,再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點去嘗試構(gòu)造.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5 不等式證明選講
設(shè)a,b,c均為正數(shù),證明:
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式證明選講
已知對于任意非零實數(shù)m,不等式|2m-1|+|1-m|≥m(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

D.選修4-5:不等式證明選講
對于任意實數(shù)a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,試求實數(shù)x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從A,B,C,D四個中選做2個,每題10分,共20分

A.選修4—1 幾何證明選講

如圖,設(shè)△ABC的外接圓的切線AEBC的延長線交于點E,∠BAC的平分線與BC交于點D。求證:

B.選修4—2 矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到曲線F,求F的方程。

C.選修4—4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中,點是橢圓上的一個動點,求的最大值。

D.選修4—5 不等式證明選講

設(shè)a,b,c為正實數(shù),求證:。

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