Question

已知函數(shù)f(x)=log2

1+x

1-x

                                                
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（3）判斷f（x）在的單調(diào)性，并用定義證明．
（4）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接由對數(shù)式的真數(shù)大于0解分式不等式得函數(shù)的定義域；
（2）運用奇函數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)式的性質(zhì)進行判斷；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，在作差后注意判斷差式的真數(shù)與1的大小關(guān)系；
（4）把對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式求解．

解答：（1）解：要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿足

1+x

1-x

＞0，
即（1-x）（x+1）＞0，
解得：-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
證明：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）關(guān)于原點對稱．
且f(-x)=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f(x2)-f(x1)=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

．
因為-1＜x₁＜x₂＜1，
所以1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0
所以

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
所以log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
（4）要使f(x)=log2

1+x

1-x

＞0，
則有

1+x

1-x

＞1，
∴

1+x

1-x

-1＞0，
∴

1+x-1+x

1-x

＞0，
∴x（x-1）＜0，解得：0＜x＜1，
∴使f（x）＞0的x的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，考查了分式不等式的解法，求解分式不等式時，要注意等價轉(zhuǎn)化，此題是中檔題．