Question

已知函數在上是減函數，在上是增函數，函數在上有三個零點，且是其中一個零點．

（1）求的值；

（2）求的取值范圍；

（3）設，且的解集為，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1），（2），（3）

【解析】

試題分析：（1）函數在處單調性發(fā)生變化，所以，由得.（2）因為，所以，因此因為函數在上有三個零點，所以必有兩個不等的根，．又在上是增函數，所以大根不小于1，即，，故的取值范圍為．（3）已知不等式解集求參數取值范圍，有兩個解題思路，一是解不等式，根據解集包含關系對應參數取值范圍.二是轉化，將不等式在區(qū)間有解理解為恒成立問題，利用函數最值解決參數取值范圍.本題由于已知是其中一個零點，所以兩個方法都簡便.否則應利用變量分離求最值法.

試題解析：（1）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴． 1分

∵f（x）在上是減函數，在上是增函數，

∴當時，取到極小值，即．∴． 3分

（2）由（1）知，，

∵是函數的一個零點，即，∴． 5分

∵的兩個根分別為，．

又∵在上是增函數，且函數在上有三個零點，

∴，即． 7分

∴．

故的取值范圍為． 9分

（3）解法1：由（2）知，且．

∵是函數的一個零點，∴，

∵，∴，

∴點是函數和函數的圖像的一個交點． 10分

結合函數和函數的圖像及其增減特征可知，當且僅當函數和函數的圖像只有一個交點時，的解集為．

即方程組①只有一組【解析】
11分

由，得．

即．

即．

∴或． 12分

由方程②

得．∵，

當，即，解得． 13分

此時方程②無實數解，方程組①只有一個解

所以時，的解集為． 14分

（3）解法2：由（2）知，且．

∵1是函數的一個零點

又的解集為，

∴的解集為． 10分

．

． 12分

．

． 14分

考點：利用導數求參數取值范圍